پارادوکس راسل - Russell's Paradox

[Mehrbod]

پس از فعالیت زیاد «Russell» گرامی در این چند هفته، من بر آن شدم که نگاهی به نوشته‌های برتراند راسل بیاندازم و همینجا
به همه دوستان و کسانی که به نوشته‌‌های دانشیک و منطقی گرایش دارند پیشنهاد می‌کنم که نوشتارهای او را از دست ندهند!

• http://rapidshare.com/files/14868915...athematics.rar
• http://rapidshare.com/files/19181983...and.Essays.rar

اما پارادوکس راسل چیست. در کتاب نخست (نهادهای مزداهیک - The Principles of Mathematics)، راسل با اشاره به
نگره گردآیه‌ها (Set theory) (که در نسک بیشتر «کلاس» گفته می‌شود)، همه گردآیه‌ها را به دو دسته ساده بخش می‌کند:

• گردآیه‌های خود-واگذار (self referential)
• گردآیه‌های بهنجار (ordinary)

که در این دسته‌بندی بیشتر گردآیه‌ها بهنجار خواهند بود. برای نمونه یک گردآیه از همه جانداران زنده یک گردآیه بهنجار و معمولی می‌باشد.

از سوی دیگر در نگره گردآیه‌ها، دیده می‌شود که گردآیه‌‌هایی هستند که خود هموند (عضو) خود می‌باشند و ما آنها را خود-واگذار می‌نامیم.
برای نمونه گردآیه‌ای از ایده‌های آهنجیده (abstracted ideas) خود نیز یک ایده آهنجیده به شمار رفته و هموند خود خواهد بود:


در اینجا راسل می‌پرسد که اگر ما یک گردآیه از همه گردآیه‌های بهنجار داشته باشیم، آیا گردآیه ما بهنجار خواهد بود یا خود-واگذار:

اکنون:

• اگر گردآیه هموند خود باشد، آنگاه یک گردآیه خود-واگذار می‌شود که بر پاد شناسه (گردآیه‌ای از گردآیه‌های بهنجار) خواهد شد.
• اگر گردآیه هموند خود نباشد، آنگاه یک گردآیه بهنجار بوده و پس می‌بایستی خود هموند گردآیه ما باشد!

همچنان که می‌توان دید، هموندی/ناهموندی گردآیه در خودش در هر دو حالت به پاراوکس منطقی می‌انجامد، که از نادرستی یک جای نگره می‌گوید.

نگر خود را بیان کنید.

[Russell]

نگره گردآیه‌ها (Set theory) (که در نسک بیشتر «کلاس» گفته می‌شود)

البته بیشتر به "تئوری مجموعه ها" مشهور است در فارسی.
راسل با همین پارادوکس بود که بنیان ریاضی و منطق کلاسیک را فرو ریخت.
من البته آشنایی چندانی با منطق جدید ندارم ولی بنظر میرسد این پارادوکس ارتباط به نهایت داشتن یا بی انتهایت بودن مجموعه ها میتواند داشته باشد.

[Mehrbod]

البته بیشتر به "تئوری مجموعه ها" مشهور است در فارسی.

در نگارش خود کتاب را گفتم راسل جان، گویا در زمان برتراند راسل، set را کلاس می‌گفتند.

راسل با همین پارادوکس بود که بنیان ریاضی و منطق کلاسیک را فرو ریخت.
من البته آشنایی چندانی با منطق جدید ندارم ولی بنظر میرسد این پارادوکس ارتباط به نهایت داشتن یا بی انتهایت بودن مجموعه ها میتواند داشته باشد.

نکته دیگری که در نخستین نگاه برای یک برنامه‌نویس پیش می‌آید دقیقا پیوند آن با بی‌نهایت و recursion است.
اگر ما یک گردآیه خودواگذار داشته باشیم، پس هموند آن که خودش باشد نیز خود یک «گردآیه خودگذار» خواهد بود و الخ.

چنین گردآیه‌ای را نمی‌توان حساب به چم compute کرد، ولی می‌توان آن را با continuation در نگر گرفت، به این ریخت که ما می‌توانیم همواره یک گام پیش را داشته باشیم و حساب کنیم.

البته این همچنان پاسخی به پارادوکس ما نمی‌دهد. از سوی دیگر، در نمونه کتاب ما تنها یک نمونه از گردآیه خودواگذار می‌بینیم؛ نمونه‌ دیگری هم آیا یافت می‌شود؟

[Mehrbod]

بنظر شما این مثال خودش مشکل منطقی نداره؟
در اصل ادعای سلمانی نادرست و متناقض بوده.
دلیلی نداره ما بیایم بخوایم منطق خودمون رو برای تطابق با چیزی که فقط ادعا شده اما در واقعیت صدق نمیکنه تغییر بدیم.
تعجب میکنم که برتراند راسل چطور چنین مثال احمقانه ای زده :169:

نه ندارد.

آرایشگر مرد ریشوییست که بر سردر آرایشگاه خود نوشته:

من چهره همه را میتراشم، بجز مردانی که خود چهره‌اشان را میتراشند.

اگر این گزاره درست باشد، چه کسی چهره او را میتراشد؟


اگر گزاره درست باشد:

پس او:

یا چهره خودش را میتراشد: پس گزاره در بخش "بجز مردانی که خود چهره‌اشان را میتراشند" درست نیست.
یا چهره خودش را نمیتراشد: پس گزاره در بخش "من چهره همه را میتراشم" درست نیست.

پس میبینیم که گزاره آرایشگر منطق‌وار نمیتواند درست باشد.
چرا که در واقعیت اگر چهره خود را بتراشد نادرست میشود، اگر نتراشد باز هم نادرست میشود.

پاسخی که میتوان به آن داد شاید این باشد که همه گزاره‌های خود-واگذار نمیتوانند ناگزیر درست باشند.


هر آینه این یکی از نمونه‌های برشمرده برتراند راسل، برگرفته از گردآیه‌های خود-واگذار (self-referential sets) است.

[Russell]

این پارادوکس قدیمیتر بنام "پارادوکس دروغگو" هم به فهم پارادوکس راسل کمک میکند و قوم و خویشش هست:
پارادوکس‌های دروغگو(به انگلیسی: Liar paradox) یکی از گروه-پارادوکس‌های خودارجاع هستند. این پارادوکس‌ها به صورت‌های مختلفی قابل طرح هستند:

• جملهٔ بعدی صحیح است. جملهٔ قبلی دروغ است.
• این جمله‌ای که همین الان دارم می‌گویم دروغ است.^[۱]
• اپیمندس اهل کرت می‌گوید: همه اهالی کرت دروغگو هستند.

برای مثال در مورد دوم می‌پرسیم که آیا این گزاره راست است یا دروغ؟ اگر راست باشد، آنچه می‌گوید درست و مطابق با واقع است، پس درست می‌گوید که دروغ است، پس دروغ است، و این در حالی است که کمی پیش‌تر گفتیم راست است، پس این گزاره هم راست است و هم دروغ. حال اگر فرض کنیم که دروغ باشد، از آن‌جا که خودش هم به کذب خود اذعان می‌کند؛ راست است. در هر دو حالت(چه در ابتدا آن را راست درنظر بگیریم و چه دروغ) به نظر می‌رسد که نهایتآ این گزاره هم راست است و هم دروغ.^[۱]نسخهٔ دیگرِ پارادوکس که صورتی ساده‌شده از پارادوکس راسل است:

• یک آرایشگر در شهری هست که می‌گوید: «فقط و حتماً سرِ کسانی را اصلاح می‌کنم که خودشان سرِ خودشان را اصلاح نمی‌کنند». سوال این است: این آرایشگر سرِ خودش را اصلاح می‌کند یا نه؟ اگر بکند باید نکند و اگر نکند باید بکند.

همچنین یکی از تفسیرهای ممکن برای عبارت دانم که ندانم، آن را یک خودارجاعی از نوع پارادوکس دروغگو معرفی می‌کند و پارادوکس سقراط می‌نامد.یکی از راهِ‌حل‌هایی که برای حل این پارادوکس‌ها پیشنهاد شده ادعای اینست که در هیچ زبانی حقِ صحبت دربارهٔ صدق و کذبِ گزاره‌هایِ خودِ آن زبان وجود ندارد. در نظریهٔ مجموعه‌ها این حرف معادلِ آن است که هیچ مجموعه‌ای نمی‌تواند عضوِ خودش باشد.

پارادوکس دروغگو - ویکی‌پدیا