پارادوکس آزمون ناشو

[Nikzad Mehrazmanesh]

زیبایی پارادوکس به همین است که رخ میدهد.

کجا رخ داده؟

[Mehrbod]

کجا رخ داده؟

میتواند رخ بدهد دیگر, نمیتواند؟

من راهکاری دیگر برای این پارادوکس/چیستان در نگر دارم که دیرتر شد میآورم.

[Russell]

به گمانم این بخش کلیدی جاافتاده اینجا هم دردسرآفرین شد, چون روز شنبه آزمون نمیتواند روز جمعه باشد, میتواند تنها یک‌شنبه باشد.

در نمونه‌یِ دیگر که اعدام باشد, قاضی تنها ٦ ساعت پیش از اعدام به متّهم خواهد گفت.


--
نمونه‌یِ نزدیک دیگری هم هست که اینجا میتواند یاری‌رسان باشد و فاکتور زمان را از بیخ دور میاندازد. آزمونگری به پنج دانشجو,
بگوییم, ارسلان, بهرام, پریسا, تهمینه و جوانه ٥ برچسب ستاره نشان میدهد که چهارتای آنها نقره‌ای و یکیشان طلایی است.

این چهاردانشجو به ترتیب نام پشت سر هم نشسته‌اند جوریکه ارسلان میتواند پشت همه‌ را ببینید و بهرام
میتواند تنها پشت سه دختر روبرویش را و همینجور به پیش; آزمونگر میگوید: من پشت هر کدام از شما یک ستاره
چسبانده ام و آن دانشجویی که ستاره‌یِ طلایی خورده باید آزمون را بدهد, جوریکه او از گزیدگی خود غافلگیر هم هم خواهد شد, غافلگیر
به این معنی که این دانشجو هیچ جوره نخواهد دانست که برچسب ستاره‌یِ طلایی روی او خورده مگر تا زمانیکه آرایش نشستن را بهم بریزند.

دانش‌آموزها اینبار بمانند آزمون دیگر اعتراض میکنند که چنین آزمونی ناشو است, چون ارسلان نمیتواند هرگز‌ این دانشجو باشد
زیرا اگر او بود میتواند درجا ٤ ستاره‌یِ دیگر را ببیند و دریابد که ستاره‌یِ طلایی روی خود او خورده است و همینجور به پیش.

دنباله‌یِ استدلال بمانند آزمون دیگر پیش میرود.

بگمانم غیر ممکن است که استاد بتواند به وعده‌اش عمل کند. قرار است شرح وقوع وقایع اینگونه باشد:

1 - استاد وعده‌ میدهد که بشیوه‌یِ گفته شده از یک نفر اکتجان بگیرد و او را غافلگیر کند.
2- شاگردان بگونه‌یِ توضیح داده شده استدلال میکنند و به او میگویند که این غیرممکن است.
3- استاد ستاره‌ها را میچسباند.
4-آنکس غافلگیر میشود.

در اینجا 4 هرگز رخ نمیدهد، اگر که دانش آموزان همان روند استدلالی که برای هر دانش آموز فرض میگرند در عمل پایبند بمانند خود در 2 را پی بگیرند، نه اینکه عملی شدن وعده‌یِ استاد را ناممکن تلقی کنند و بر مبنای آن گمان کنند که ستاره پشت هیچ کس، از جمله خودشان نیست.

1-2-3-4-5

بگوییم استاد ستاره‌یِ طلایی را پشت نفر 3‌ام چسبانده، بر مبنای 2 هر کس اینگونه استدلال خواهد کرد:
5 و 4 ستاره‌یِ را روی 3 میبینند و گمان خواهند کرد که از آن‌ها امتحان گرفته نخواهد شد، چرا که از 3 امتحان گرفته خواهد شد.

3 با خود میگوید که ستاره پشت 5 نخواهد بود چرا که اگر او ستاره را جلوی خود نبیند به یقین میداند که پشت خودش است، 4 هم با دانش به همین در صورت ندیدن ستاره (بر مبنای روش استدلال در 2) نتیجه خواهد گرفت که ستاره پشت خودش اوست پس ستاره پشت او هم نیست. در نتیجه ستاره پشت من است.

1و2 هم که ستاره‌ای در جلوی خودشان نمیبینند همین استدلال را خواهند کرد و گمان خواهند کرد که ستاره پشت خودشان است.

پس 4و 5 گمان خواهند کرد که ستاره پشت آن‌ها نیست، 1و 2 و 3 گمان خواهند کرد که ستاره پشت خودشان است. در اینجا 3 غافلگیر نخواهد شد.
در عمل هرکس که جلوی خودش ستاره را نبیند گمان خواهد کرد که ستاره خود اوست، و استاد هرجایی ستاره را گذاشته باشد نمیتواند همان فرد را غافلگیر کند.
در نسخه‌یِ اعدام هم اینگونه خواهد بود که، شخص هر روز گمان خواهد کرد که اعدام خواهد شد. با اینکه در برخی روزها این گمان اشتباه از آب درخواهد آمد؛ ولی در هیچ حالتی نیست که او گمان کند فردا اعدام خواهد شد و اعدام شود.

حالا اینجا بگمانم یکجای کار همچنان ایراد دارد چرا که مشخصا روند استدلال برای برخی روزها/دانش آموزان غلط از آب در خواهد آمد. ولی قطعا استاد نمیتواند هم وعده‌یِ خود را در برگزاری امتحان/ اعدام و هم غافلگیر کردن شخص مورد نظر عملی کند.

[Nikzad Mehrazmanesh]

میتواند رخ بدهد دیگر, نمیتواند؟

بله دانشجویان سرگرم کاردیگری بشوند وفراموش کنند استاد گفته فردا آزمون است

[cool]

غافلگیری = احتمال وقوع صفر باشد یا به سمت صفر میل کند!

گمان نمیکنم این تعریف درستی از غافلگیری باشد
مگه لگاریتمه که به سمت صفر میل کند؟!!
یک گوی را پرتاب میکنیم با محاسباتی که انجام داده ایم در می یابیم که احتمال اینکه گوی به هدف بخورد 20درصد و احتمال اینکه گوی به هدف نخورد 80درصد است پس از پرتاب گوی به هدف میخورد.
در اینجا احتمال وقوع صفر نیست و به سمت صفر هم میل نکرده!این یک مثال نقض بود پس تعریف شما نادرسته
بنظر من غافلگیری یعنی بدست امدن نتیجه ای خلاف انتظارمان

چون در مورد هیچ چیزی در عالم نمی توان با قطعیت نظر داد بر اساس همان عدم قطعیت و از اینرو احتمال وقوع هیچ امری صفر نیست

در حرف های شما تناقض وجود دارد.شما غافلگیری را احتمال وقوع به سمت صغر یا صفر تعریف کرده بودید و اکنون میگویید احتمال وقوع هیچ امری صفر نیست.کدامیک درست است؟احتمال وقوع هیچ امری صفر نیست یا هست؟!!!
اگر بگویی احتمال وقوع "هیچ" امری صفر نیست با قطعیت حرف زدی و این برخلاف اصل عدم قطعیت است.گویا شما اصل عدم قطعیت را نفهمیده ای

اگر همه ی این روزها را هم شانس در نظر بگیریم احتمال روز امتحان بودن در همه روزها برابر خواهد با 1/7

البته بستگی دارد استاد در کدام روز هفته این حرف را زده باشد

به کسی بگویند در این ماه با آمدن به خانه اش وی را غافلگیر می کنند و او ابتدا آخرین روز ماه ار حذف کند و تا پا!!!

از انجایی که این شخص نمیداند در کدامین روز به خانه اش میروند هر روز که شخص فوق به خانه اش برود غافلگیر خواهد شد البته بجز اخرین روز!

[cool]

مطمئن به استدلال خود در یکی از روزهای هفته (بگوییم سه‌شنبه) استاد ناگهان آزمون
را میگیرد و دانشجویان همگی غافلگیر میشوند و پس گفته‌یِ استاد درست از آب در میاید.

از حرفهای دانشجویان مشخص میشود که استاد روز چهار شنبه چنین حرفی زده است بنابراین سخن دانشجویان صحیح است.اگر استاد روز سه شنبه امتحان بگبرد چگونه روز قبل دانشجویان از ان خبر دارند؟!!!

[Transcendence]

به این مسئله از نماهای مختلفی میشود نگاه کرد.
در ابتدا بیایید به مسئله یک شکل مناسبی بدهیم.
مفروضات:
1- اعدام در یکی از روزهای هفته می باشد. 2 مجرم غافلگیر می شود3- چند ساعت قبل از اعدام مجرم اگاه می شود

حا بیایید مسئله را حالت بندی کنیم.

1-ایا امکان دارد در روز جمعه اعدام اتفاق بیافتد.؟

چنانچه قاضی در روز جمعه بخواهد اعدام کند پس تا روز پنجشنبه اعدام اتفاق نیافتاده است پس تنها یک روز باقی می ماند

پس مجرم نسبت به روز اعدام اگاه بوده و غافلگیر نمی شود.

بنابراین حالت اول امکان وقوع ندارد.ما این را قضیه P می نامیم.

2-ایا امکان دارد در روز پنجشنبه اعدام اتفاق بیافتد؟ ما این را گزاره Q می نامیم.

چنانچه قاضی در روز پنجشنبه بخواهد اعدام کند پس تا روز چهارشنبه اعدام اتفاق نیافتاده است پس مجرم در روز

چهارشنبه اگاه است که اعدام یاروز پنجشنبه است یا روز جمعه ولیکن طبق P ما میدانیم که جمعه اعدام هرگز نخواهد بود

پس اعدام حتما روز پنجشنبه خواهد بود پس مجرم نسبت به روز اعدام اگاه بوده و غافلگیر نمی شود.

بنابراین حالت دوم امکان وقوع ندارد.

3- ایا امکان دارد در روز چهارشنبه اعدام اتفاق بیافتد؟

چنانچه قاضی در روز چهارشنبه بخواهد اعدام کند پس تا روز سه شنبه اعدام اتفاق نیافتاده است پس مجرم در روز

سه شنبه اگاه است که اعدام یا روزچهارشنبه است یا روز پنجشنبه یا روز جمعه ولیکن طبق P وQ ما

میدانیم که نه جمعه و نه پنجشنبه اعدام هرگز نخواهد بود

پس اعدام حتما روز چهارشنبه خواهد بود پس مجرم نسبت به روز اعدام اگاه بوده و غافلگیر نمی شود.

بنابراین حالت سوم امکان وقوع ندارد.

حالت های بعدی نیز به همین روال پیش خواهد رفت و نهایتا مجرم نتیجه خواهد گرفت که هیچ روزی امکان وقوع اعدام

نیست.

خوب فقط خواستم به مسئله شکل مناسبی بدهم.(البته اگر منظور همین باشد که من نوشتم)

[Transcendence]

بازنویسی گزاره دوم(Q):

ایا امکان دارد در روز پنجشنبه اعدام اتفاق بیافتد؟
1) تا روز چهارشنبه اعدام اتفاق نیافتاده است.
2)قضیه P
3)بنا بر 1 و2 نتیجه می شود که تنها روز باقی مانده پنجشنبه می باشد.
پس مجرم نسبت به روز اعدام آگاه بوده که در تضاد با غافلگیری است ،پس امکان ندارد روز پنجشنبه اعدام باشد.

خوب حالا می خواهیم نشان دهیم که ما مجوز استفاده از قضیه p را در Q نداریم پس اثبات نمی شود که روز پنجشنبه
امکان ندارد .
برای این کار من از دو مقدمه استفاده می کنم.

مقدمه 1)
زمانی که ما می خواهیم مثلا ازگزاره T، Sرا استنتاج کنیم می توانیم از R،Sرا نتیجه گرفته و از T،Rرا نتیجه
بگیریم.
در چنین حالتی R مستقیما از خود S و اصول موضوعه و قضایای اثبات شده ای که در شرایط مسئله صدق می کنند
حاصل می شود.
مقدمه 2)
زمانی که ما می خواهیم مثلا از T، Sرا استنتاج کنیم از قضیه ای مثل R استفاده می کنیم که در شرایط مسئله

صدق می کند. در چنین حالتی R قضیه ای می باشد که خود مستقلا از اصول موضوعه و قضایای اثبات شده دیگر،

بدست امده است.
البته می شود این دو مقدمه را یکی کرد ولی برای وضوح بیشتر نوشتم.

ادعا ما این است که به کارگیری قضیه p در اینجا نه از مقدمه یک است نه از مقدمه 2

[Transcendence]

حال بیائید به قضیه p بیشتر توجه کنیم.

این قضیه می گوید که هرگز روز جمعه امکان اعدام شدن نمی باشد.

دو نگاه به این قضیه:

1-برهان خلف:
فرض می کنیم روز جمعه باشد در این صورت به تناقض می رسیم(با غافلگیری )

2-فرض می کنیم تا روز پنجشنبه اعدام نباشد آنگاه روز جمعه اعدام نخواهد بود.

شاید این دو شبیه به هم باشند اگر نشان دهیم معادل هستند باقی مسئله حل است.

(اثبات معادل بودن رو حال ندارم)

حال نشان می دهیم که چرا استفاده از p در اینجا موجه نبوده است.

در اثبات قضیه P ،ما فرض تا روز پنجشنبه اعدام اتفاق نیافتاده است را داریم .حال برای استفاده از قضیه p در گزاره Q یا باید p در شرایط مسئله Q صدق کند یا

خود مستقلا از اصول موضوعه و قضایای اثبات شده دیگری منتج شده باشد .

یا به شکل ساده تر به گزاره Q نگاه می کنیم(باز نویسی سوم)

ایا امکان دارد در روز پنجشنبه اعدام اتفاق بیافتد؟
1) تا روز چهارشنبه اعدام اتفاق نیافتاده است.
2)قضیه P(فرض می کنیم تا روز پنجشنبه اعدام نباشد آنگاه روز جمعه اعدام نخواهد بود.)
3)بنا بر 1 و2 نتیجه می شود که تنها روز باقی مانده پنجشنبه می باشد.
پس مجرم نسبت به روز اعدام آگاه بوده که در تضاد با غافلگیری است ،پس امکان ندارد روز پنجشنبه اعدام باشد.
ایرادات:
1)از گزاره Q قضیه p نتیجه نمی شود.
2)قضیه p از اصول موضوعه منتچ نشده است.
بنابراین نمی توانیم قضیه p را در گزاره Qاستفاده کنیم.

[Transcendence]

الان که دوباره نگاه کردم دو پست قبلی ام اشتباه بودبلاخره این جور مسائل پیچش های خاصی داره که آدم رو به خطا می اندازد.